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警察与小偷博弈
小偷
盗窃A区
盗窃B区
警察巡逻A区 3，0 2，1巡逻B区 1，2 3，0
由上面分析，我们可以得出这个博弈没有纯策略纳什均衡点，只有混合策略均衡点。
在混合策略均衡点下，双方的策略选择是其最优策略选择。
此时，警察的一个最佳选择是：用抽签的方法决定去A区巡逻还是去B区巡逻。
因为A区建设银行的财产价值是B区首饰店的两倍，所以用两个签（比如1、2）代表去A区巡逻，一个签（比如3）代表去B区巡逻。
如果抽到1、2号签，就去A区巡逻；如果抽到3号签，就去B区巡逻。
这样警察就有23的概率去A区巡逻，13的概率去B区巡逻，其概率的大小与巡逻地的财产价值成正比。
而小偷的最优选择也是同样以抽签的办法决定去A区行窃还是去B区偷盗，只是与警察相反：小偷抽到1、2号签去B区行窃，抽到3号签去A区行窃。
那么，小偷就有13的概率去A区偷盗，23的概率去B区偷盗。
上面所说的警察与小偷所采取的策略便是混合策略。
按上述混合策略，警察的总期望收益是73万元，与只巡逻A区得2万元的收益的策略相比，明显得到了提高。
原因如下：
当警察去A区巡逻时，小偷有13的概率去A区偷盗，23的概率去B区偷盗，此时，警察巡逻A区的期望收益为73（13×3+23×2=73）万元；当警察去B区巡逻时，小偷同样有13的概率去A区偷盗，23的概率去B区偷盗，此时，警察巡逻B区的期望收益为73（13×1+23×3=73）万元。
警察的总期望收益为73（23×73+13×73=73）万元。
同理，我们也可知小偷采取混合策略的总期望收益是23万元，比得1万元收益的只偷盗B区的策略（前提是警察只巡逻A区）要差。
当博弈一方所得为另一方所失时，对于博弈的任何一方而言，此时只有混合策略均衡点，而不可能有纯策略的纳什均衡点。
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