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[120]该突起的宽度自始至终都是不变的，悬挂的斜坡的角度，就是因为这一原因，随着悬崖高度的升高而变小。
[121]曲率的量像任何其它事物的量一样是可测量的；一眼可以看出它与线的本质而不是与线的长度有关：因此在图96中，
简单的圆弧曲线ab中，曲率量是任何圆的四分之三，——圆的曲线率即ef的曲率量。
[122]如果悬链线的方向不随着长度改变的话，它就不是真正能够无限延伸的曲线；但是它是可以无限延伸的，暗示者悬挂点的无限迁移造成的改变。
对视觉和思维的影响与无限的曲线完全一致。
我不知道由高和沉重的瀑布组成的明显的悬垂曲线的真正本质；它们依赖于中间的洪流的下降速度的增加，在中央瀑布较大的体积受到的空气阻力较小；而且我理解，在本质上是悬链线，尽管在成因上不是。
[123]我恐怕再过多讨论这一最难主题的复杂性会让人生厌；但是我说“接近山脉的底部时”
，因为当抵达一定程度的垂直性时，石头和瀑布就会从悬崖的顶端弹入空中，仅仅侵蚀到悬崖的顶部。
而且很明显，当曲线下落到垂直的悬崖时，通常的情况是，曲率的最大值一定位于悬崖顶端的上方的某个地方，正如在悬崖内部，曲线也会变成一条直线。
[124]下面摘自我的日记，叙述了1849年这一瀑布美景被毁的情况，当时我碰巧亲眼看到了，那些对在此之前瀑布情景仍有印象的旅行者也许会对此感兴趣。
那座叫作“约瑟夫的家”
的房子是导游约瑟夫库特的，位于瀑布下大约一英里的一个村庄里，介于村庄和阿沃之间：那个叫作“老雪崩”
的地方是森林中的一个空谷，是1844年春天杜米第尖峰中一次巨大的雪崩劈出来的。
雪崩砸倒了大约一千棵成年的松树，在树林中留下了一条开阔的道路，从瀑布几乎延伸到那个村庄上。
“6月28日傍晚，星期四。
我像通常一样向培勒林瀑布走去；当我到达约瑟夫的家时，我听到了激流那儿像沉闷的雷鸣的一声响，或者像更远更重的东西落下来的声音。
一位农民对约瑟夫说了些什么，约瑟夫驻足聆听，然后点一点头，对我说，“瀑布刚才流水了（原文为法语）”
想到以后会有足够多的时间问清楚原因，我几乎什么也没问就向山上猛冲。
当我到达那个老雪崩的地方时，约瑟夫叫我停下来，看一下流水的增加。
这是在杜米第上，一块黑云一直延伸到基座；激流的上部是棕色的，下部是白色的，并不比平时大。
我想，棕色的部分流下来的速度特别缓慢，渐渐抵达瀑布那儿；在这一过程中，瀑布上升到平时高度的一点五倍，在我逗留的五分钟内（不可能更多的）变成了板岩色。
然后我使出最大的力气向前挤。
当我到达最后一级台阶时，我被迫停下来喘口气，但是在瀑布理智地把水量减小之前又站了起来。
那时水向岩石上扩展的程度几乎已是昨夜的两倍，水的颜色几乎成了黑色；而且到瀑布的外侧碎裂和分开时，它的样子就像扁平的板岩碎片纷纷落下。
这一现象的成因我无法理解，除非水中混合了水自己从平坦和松软的泥土中掏出来并弄碎的黑泥；不管怎样，事实就是这样：不是喷溅，而是像一场肮脏的板岩薄片大雨——差异只是带着色彩，好像一开始就是潮湿的。
然而这在激流中只占据了最少的一部分，因为激流带走的水的重量和石头的重量一样多；石头的大小不一，我猜测一般是鸡蛋那么大；但是我不认为在某一时刻，水拱有时不会达到人的拳头的四五倍大，而且经常笔这还要大，——都是小火山的爆发力吐出来，持续不断下落，又稠又密，而且如果不是跟瀑布的响声混合在一起，则会像步兵的激烈开火一样响；它们在瀑布的盆体中弹跳，就像雷暴雨夹着冰雹。
当我们观察瀑布时，它似乎**着减小了，在缩短时突然露出了地下的岩石，昨天还是几乎看不到的：当我大声喊约瑟夫它又升起来了，比以前任何时候都高，而其继续上升，直到差一点抵达对面岩石上的积雪处。
它那时变得非常奇异和富于变化，在两三秒的间隔中忽大忽小，方向也有部分改变。
在观察了半个小时左右，我决定试着做一些备忘录。
库特给我拿来一水壶水：我弯下腰来蘸一下画笔，这时库特抓住了我的手臂，说：‘啊（原文为法语）；’与此同时我听到一声炸响，就像大炮走火的声音；我抬起头，在抬头时，瀑布在我眼前沉下去了，回到了岩石上。
有一会儿我们俩都没有说话；然后，库特对我说：‘是一块洞穴里的石头（原文为法语），’或者类似的话：事实上，在他叫我的时候已经看到石头落下来了。
我而且认为没有再发生别的什么事，我只是兴致盎然地看着被损毁的瀑布，直到就像上次下落一样，它又升起来了，尽管没有先前那么高；库特弯下身来，惊呼道：‘不是这样的，岩石是被开凿的（原文为法语）；’事实上，此刻一个洞清晰显现在转动溪流的杯子里，穿过这个杯子水发出嗽嗽声响，就像从爆裂的管子中发出的。
然而瀑布继续增大，直到这条新的河道被掩盖住，而且我正在对库特声明自己的主张，说他一定是看错了（而且说水仅仅打在外缘的岩石上，已经改变了它的下落方式），这时水又一次落下去了；有两个女孩是从小木屋走上来的，他们立刻表达了自己的看法，说“瀑布很完美（原文为法语）。”
这一次一切都清楚了；水从一个新的缝隙中以一种狂暴的喷射的水柱（原文为法语）方式涌出，几乎没有一点从上面逃掉过。
它再一次缓缓上升，当洞被石头堵住时，随后又下落；但是马上又跃出去几乎到达了住处的高度（水这时的量要小得多）；而且保持的形式跟昨天几乎相同，直到我厌倦了观看，走回到山下的牧人小屋去，坐在门前。
我在那儿不到五分钟，瀑布又落下去，没有再升起来。”
[125]最初人们一定认为这条跟曲线近似的线是摆线，就像下落最快的线。
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